Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018 Tingkat Kabupaten

Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018 Tingkat Kabupaten - Kali ini arsipkantor.com akan membagikan soal OSK Matematika SMA beserta pembahasanya.

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA  SMATINGKAT  KABUPATEN/KOTA

28 Februari 2018

 

1.         Misalkan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + (𝑥 − 𝑏)(𝑥   −

𝑐) = 0 yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + (𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) =  0

⇔ 𝑥2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 + 𝑥2 − (𝑏 + 𝑐)𝑥 + 𝑏𝑐 =   0

⇔                  2𝑥2 − (𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥 + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) =  0

Sehingga,  jika  akar-akar  dari  persamaan  kuadrat  𝑥2 − (𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥 + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) = 0  adalah 𝑥1

dan 𝑥2, maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

𝑎 + 2𝑏 + 𝑐

𝑥1  + 𝑥2  =           2

Perhatikan juga bahwa 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 akan maksimum apabila 𝑏 adalah bilangan terbesar dan 𝑎, 𝑐 masing-masing dipilih bilangan satu digit berurutan yang lebih kecil dari 𝑏.

Sehingga apabila 𝑏 = 9 dan masing-masing 𝑎 atau 𝑐 adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akar- akar persamaan kuadrat tersebut adalah

𝑥1  + 𝑥2 =

𝑎 + 2𝑏 + 𝑐       33

=

2                  2

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + (𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) =  0

⇔                      (𝑥 − 𝑏)(2𝑥 − (𝑎 + 𝑐)) =  0

𝑎 + 𝑐

⇔                                      𝑥1  = 𝑏 atau 𝑥2 =      2

Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalah

𝑥1  + 𝑥2  = 𝑏 +

𝑎 + 𝑐 2

Dengan mudah kita tahu bahwa 𝑏 + 𝑎+𝑐  akan maksimum apabila 𝑏 merupakan bilangan   terbesar

2

yaitu 9. Jadi, 𝑎 atau 𝑐 adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.

𝑥1  + 𝑥2  = 𝑏 +

𝑎 + 𝑐

= 9 +

2

15

= 9 + 7,5 = 16,5

2

2.         Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 × 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan 𝑁

adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus:

·       untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap

·         untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap Nilai 𝑁 adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan tabel 2 × 2 berikut!

𝑎	𝑏
𝑐	𝑑

Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, maka diperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.

Perhatikan juga bahwa 𝑎, 𝑏, 𝑐, atau 𝑑 hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:

·       untuk 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan ganjil maka ada tiga kemungkinan

-          keempat bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan yang sama, sebanyak 2𝐶1 = 2 cara.

-          diantara bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada tiga bilangan yang sama, sebanyak 4! ×

3!

2𝐶1

= 8 cara.

-          diantara bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada dua bilangan yang sama, sebanyak 4!

2!2!

= 6 cara.

·       untuk 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan genap

maka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2. Sehingga ada sebanyak 1 cara.

Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 2 + 8 + 6 + 1 = 17 cara. TRIK SUPERKILAT:

Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus:

·       Kasus pertama: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan ganjil.

Banyak kejadian adalah

4) +

(

0

4) +

(

1

4) +

(

2

4) +

(

3

4) = 24  = 16

(

4

·       Kasus kedua: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan genap.

Hanya ada satu kemungkinan, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2.

Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 16 + 1 = 17 cara.

Untuk mendapatkan file dokumen lengkap dalam bentuk microsoft words atau .doc, silahkan klik tautan di bawah ini :

Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018 Tingkat Kabupaten.docx

Terima kasih telah mengunjungi arsipkantor.com, kami tunggu kunjunganya kembali. Apabila menurut anda artikel ini bermanfaat, silahkan share melalui media sosial anda.

Tags : #SMA

Share This :

Imamuddin B